Кривая Вивиани

Кривая Вивиани — пересечение сферы и цилиндра

Кривая Вивиани — пространственная кривая, пересечение кругового цилиндра со сферой с центром на поверхности цилиндра и радиусом, равным диаметру цилиндра.

Названа в честь Винченцо Вивиани, который дал в 1692 году детальное исследование этой кривой и впервые отметил, что ограниченные ею на полусфере две области допускают простую квадратуру: их общая площадь такова, что поверхность оставшейся части полусферы равна площади квадрата, построенного на диаметре сферы. До Вивиани эту кривую изучали Де ла Лубер, Симон и Жиль Роберваль (1666).

Уравнения

• Кривая Вивиани является линией пересечения поверхности цилиндра

  [math]\displaystyle{ (x-a)^2 + y^2 = a^2 }[/math]

со сферой вдвое большего радиуса, центр которой лежит на поверхности цилиндра:

[math]\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 = 4\cdot a^2\,. }[/math]

• Параметрическое уравнение:

  [math]\displaystyle{ \left( a\cdot( 1+\cos t ),\ a\cdot\sin t,\ 2\cdot a\cdot \sin\tfrac{t}{2} \right). }[/math]

• Уравнения проекций на плоскости [math]\displaystyle{ (x \, y) }[/math], [math]\displaystyle{ (y \, z) }[/math], [math]\displaystyle{ (x \, z) }[/math]:

  [math]\displaystyle{ x(z) = 2 \, r - \dfrac{z^2}{2\,r}\,, }[/math]

  [math]\displaystyle{ y(z) = \pm z \, \sqrt{1 - \dfrac{z^2}{4\,r^2}}\,, }[/math]

  [math]\displaystyle{ y(x) = \pm\sqrt{x (2 \, r - x)}\,, }[/math]

  [math]\displaystyle{ z(x) = \pm\sqrt{2 \, r \, (2 \, r - x)}\,, }[/math]

  [math]\displaystyle{ x(y) = r \pm \sqrt{r^2 - y^2}\,, }[/math]

  [math]\displaystyle{ z(y) = \pm \sqrt{2 \, r^2 \pm 2 \, r \, \sqrt{r^2 - y^2}}\,. }[/math]

Свойства

• Проекция кривой Вивиани на общую касательную цилиндра и сферы является лемнискатой Жероно.
• Кривая Вивиани на пересекающейся с цилиндром полусфере отделяет такие две области, что площадь оставшейся части полусферы равна площади квадрата, построенного на диаметре сферы.

Доказательство

Найдём площадь поверхности [math]\displaystyle{ f(x, y) = \sqrt{4\,r^2 - x^2 - y^2} }[/math], ограниченной кривой Вивиани, интегрированием в координатах [math]\displaystyle{ (x \, y) }[/math].

Площадь поверхности определяется привычным образом через интеграл:

[math]\displaystyle{ S_\text{V.C.} = \int\limits_{\Omega}\sqrt{1 + \left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y\,, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] — область, ограниченная кривой Вивиани.

Вычислим подынтегральное выражение:

[math]\displaystyle{ \sqrt{1 + \left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\dfrac{\partial z}{\partial y}\right)^2} = \dfrac{2 \, r}{\sqrt{4 \, r^2 - x^2 - y^2}}\,. }[/math]

Продолжая вычисление и учитывая симметричность области интегрирования относительно оси [math]\displaystyle{ x\, }[/math] (получая таким образом четыре одинаковых части), находим:

[math]\displaystyle{ S_\text{V.C.} = 4 \cdot 2 \, r \, \int\limits_{0}^{2 \, r} \mathrm{d}x \int\limits_{0}^{\sqrt{x \, (2 \, r - x)}} \mathrm{d}y \, \dfrac{1}{\sqrt{4 \, r^2 - x^2 - y^2}} = 8 \, r \int\limits_{0}^{2 \, r} \mathrm{d}x \, \mathrm{arctg}\sqrt{\dfrac{x}{2 \, r}} = 8 \, r \, (-2 \, r + 4 \, r \, \mathrm{arctg}\,1) = 8 \, \pi \, r^2 - 16 \, r^2 = \dfrac{1}{2}\,\pi\,(4\,r)^2 - (4\,r)^2\,. }[/math]

Первое слагаемое в получившемся выражении представляет собой площадь полусферы диаметра [math]\displaystyle{ 4\,r }[/math], второе слагаемое — площадь квадрата со стороной, равной этому же диаметру.

Таким образом, разность площадей полусферы и рассматриваемой поверхности равна площади квадрата, построенного на диаметре сферы:

[math]\displaystyle{ S_\text{hemisphere} - S_\text{V.C.} = (4 \, r)^2\,, }[/math]

что и требовалось доказать.

Литература

• Берже М. Геометрия, тт. 1—2. М: Мир, 1984.
• Loria G. Curve sghembe speciali, Ed. Zanichelli, Bologna, 1925.
• Roero C.S. L'intérêt international d'un problème proposé par Viviani, Actes de l’Univ. d'Été Hist. des Math., I.R.E.M. Toulouse, 1986.
• Roero C.S. The Italian challange to Leibnitzian calculus in 1692. Leibnitz and Viviani: a comparison of two epistemologies, V Int. Congress Leibnitz, Hannover, 1988.